Логарифмическое неравенство может встретиться вам в 13 задании ЕГЭ по математике. При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Как же решить логарифмическое неравенство? Давайте разберем основные правила.
- Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства
- Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1
- Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1
- Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: классический подход и метод рационализации
- Видео урок: решение сложного логарифмического неравенства
Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства
Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде:
знак можно заменить на <, ≤ или ≥.
В логарифмическом неравенстве вначале решения нам важно определить область допустимых значений (ОДЗ).
Далее мы смотрим на основание логарифма – a. Напомним, что основание логарифма должно быть положительным, и не должно равняться единице.
Если у логарифма в неравенстве а > 1, то знак неравенства не меняется.
Если у логарифма в неравенстве 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.
Рассмотрим, как это работает на практике.
Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1
Вначале определяем ОДЗ: 2х + 4 > 0
Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.
Таким образом область допустимых значений данного неравенства х > -2.
Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется:Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида
Теперь вспоминаем про нашу ОДЗ и определяем окончательный ответ.
Отметим полученные значения на числовой оси:
Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1
Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Таким образом, получим:
Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.
Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 < а < 1. В этом случае знак исходного неравенства меняется на противоположный. Получим:
Решаем полученное неравенство. Так как основания у логарифмов в обеих частях равны, то их можно отбросить, в результате чего получим:
Вспоминаем про ОДЗ и определяем окончательный ответ.
Отметим полученные точки на числовой оси:
Таким образом, решением нашего неравенства является:
Такие неравенства являются простыми, так как основания логарифмов, которые присутствовали в наших неравенствах, были четко определены.
Решение логарифмического неравенства с переменным основанием
А что делать, если основание логарифма, который присутствует в неравенстве, содержит Х? То есть нельзя четко сказать а > 1 или 0 < а < 1. Такое логарифмическое неравенство называется логарифмическим неравенством с переменным основанием. Решить его можно двумя способами – с помощью определения логарифма с переменным основанием и методом рационализации.
Давайте рассмотрим оба способа. И для наглядности решим одно логарифмическое неравенство двумя этими способами.
Итак, мы имеем неравенство
Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: классический подход
Как правило, в школе учат решать логарифмические неравенства с переменным основанием только с помощью определения логарифма, поэтому-то его и назвали классическим подходом.
Выше мы говорили о том, что при решении неравенств, содержащих логарифмы, необходимо обращать внимание на основание логарифма, которое может быть либо больше единицы, либо меньше единицы, но при этом больше ноля. И в зависимости от этого определяем знак неравенства.
С помощью такого подхода можно решить и логарифмическое неравенство с переменным основанием, то есть с основанием, которое содержит Х, и о котором невозможно сказать больше оно единицы или меньше. В этом случае нам просто нужно рассмотреть два случая: когда исходное неравенство больше единицы, и когда исходное неравенство меньше единицы, но больше ноля.
Вернемся к нашему примеру.Для начала нам нужно преобразовать данное неравенство в такой вид, где слева и справа будут логарифмы с одинаковым основанием. Для этого вспомним такое свойство логарифмов, как логарифмическая единица:
То есть в нашем примере правую часть можно преобразовать следующим образом:
Таким образом наше неравенство примет вид:
Теперь нам нужно рассмотреть два случая, когда основание логарифма больше единицы и, когда основание логарифма меньше единицы, но больше нуля. При этом не забываем про область допустимых значений.
Отметим полученные точки на числовой оси:
Таким образом, решением исходного неравенства является (-2/3;6) .
Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: метод рационализации
Метод рационализации заключается в том, что исходное неравенство вида
Вместо V может стоять знак: >, <, ≤ или ≥.
Далее неравенство можно переписать в виде:
В этом случае необходимо поставить тот же знак, что и в изначальном неравенстве.
Далее нам необходимо учесть область допустимых значений:
Применим метод рационализации для решения нашего неравенства:
Первое, что нам нужно сделать, это привести его к виду
Для этого снова воспользуемся свойством логарифмов – логарифмическая единица:
Теперь перепишем неравенство, используя метод рационализации:
Нам необходимо учесть ОДЗ, тогда получим следующую систему:
Первое неравенство системы решим методом интервалов:
Таким образом, решение первого неравенства -2 < х < 6
Решение второго неравенства: х > -4½
Решение третьего неравенства: х < 7
Решение четвертого неравенства: х ≠ 6
Совместим решения всех неравенств на числовой оси:
На приведенном примере мы разобрали, как решить логарифмическое неравенство двумя способами. Часто решение методом рационализации бывает более коротким, соответственно, на него вы потратите гораздо меньше драгоценного времени, отведенного на ЕГЭ. Потому рекомендуем потренироваться в решении логарифмических неравенств этим методом, чтобы без затруднения воспользоваться им на ЕГЭ.
Видео урок: решение сложного логарифмического неравенства
В данной статье мы разобрали, как решить логарифмическое неравенство. Еще больше примеров решения логарифмических неравенств вы можете найти