Задача с экономическим содержанием – одно из самых сложных заданий в профильном ЕГЭ, поэтому за него можно получить максимальные три балла.

Понимание, как решить экономическую задачу, поможет и в реальной жизни, так как взрослый современный человек сталкивается с этими понятиями повсеместно.

Давайте разберем на примерах, как же решаются задачи на вклады и кредиты.

1. Как решать задачи на вклады: полный разбор
2. Примеры решения задач на вклады: от простого к сложному
3. Как решать задачи по кредитам: подробная инструкция
4. Примеры решения задач по кредитам с равными (аннуитетными) платежами

Как решать задачи на вклады: полный разбор

Итак, для начала давайте разберемся, что такое вклады и зачем они нужны. Предположим, что вы хотите приобрести автомобиль за 1 000 000 рублей. При этом вы зарабатываете 40 000 рублей в месяц или 480 000 в год. От своего годового дохода вы будете откладывать на покупку машины – 200 000 рублей, а остальные 280 000 рублей вам понадобятся для покупки еды, одежды, оплаты коммунальных услуг. Несложно посчитать, что накопить 1 000 000 рублей вам удастся через 5 лет.

А теперь давайте посмотрим, что будет, если мы будем копить деньги не самостоятельно, а отнесем их в банк и сделаем вклад.

За первый год мы накопили 200 000 рублей (обозначим сумму вклада как S), отнесли их в банк и положили на вклад под 10% годовых. Тогда в конце второго года мы получим нашу сумму, увеличенную на 10%, плюс за второй год мы накопили еще 200 000 рублей и добавили их к нашему вкладу:

200 000 * 1,2 + 200 000

На третий год вся эта сумма снова увеличилась на 10%, плюс мы накопили еще 200 000 рублей и добавили их к нашему вкладу:

(200 000 * 1,2 + 200 000) * 1,2 + 200 000

На четвертый год вся эта сумма снова увеличилась на 10%, плюс мы накопили еще 200 000 рублей и добавили их к нашему вкладу:

((200 000 * 1,2 + 200 000) * 1,2 + 200 000) * 1,2 + 200 000 = (440 000 * 1,2 + 200 000) * 1,2 + 200 000= 728 000 * 1,2 + 200 000 = 1 073 600

Для удобства и наглядности сведем проведенные расчеты в таблицу:Таким образом, необходимую нам сумму для покупки машины — 1 000 000 рублей, благодаря вкладу мы смогли накопить не за 5 лет, а за 4 года, что очень нас радует.

В нашем примере проценты начислялись каждый год как на первоначально вложенную сумму 200 000 рублей, так как и на проценты, которые начислялись каждый год. Это называется капитализация процентов.

Формула, по которой вычисляется итоговая сумма вклада с учетом капитализации процентов, называется формулой сложных процентов и выглядит следующим образом:

Примеры решения задач на вклады

Задача 1

В банк внесли вклад 600 000 рублей под 10% годовых с капитализацией процентов. Какую сумму получит вкладчик через год? Через 5 лет?

Решение:

1. Через год вкладчик получит сумму, увеличенную на 10%:

600 000 * 1,1 = 660 000 рублей

2. Чтобы рассчитать сумму, которую получит вкладчик через 5 лет, то воспользуемся формулой сложных процентов:

600 000 * (1 + 0,1)⁵ = 600 000 * 1,1⁵ = 600 000 * 1,61051 = 966 306

Или составим таблицу:

Ответ: через год вкладчик получит 660 000 рублей;  через пять лет вкладчик получит 966 306 рублей.

Задача 2

Вкладчик внес одинаковую сумму в два банка. Процентная ставка первого банка – 9%, второго банка – 10%, по обоим вкладам проценты начисляются в конце года и капитализируются.   По истечении двух лет второй банк уменьшил процентную ставку до у%. По истечении еще одного года вкладчик закрыл оба вклада и обнаружил, что сумма, полученная в первом банке меньше. Найдите наименьшее целое значение у, при котором это возможно.

Решение: Составим таблицу для вычисления суммы вклада по годам, при этом первоначальный взнос обозначим как х:Из условий задачи известно, что итоговая сумма, полученная вкладчиком в первом  банке, меньше, чем во втором, следовательно:

1,295х < 1,21х + 0,0121ух

Делим обе части неравенства на х:

1,295 < 1,21 + 0,0121у

Решаем простейшее неравенство:

0,085 < 0,0121у

7, 024 < у

у > 7,024

Следовательно, наименьшее целое значение у, при котором вкладчик получит во втором банке сумму больше, чем в первом, равно 8.

Ответ: у = 8

Как решать задачи по кредитам: подробная инструкция

Давайте вернемся к ситуации, которую мы разбирали вначале. Вы хотите приобрести автомобиль только теперь стоимостью 100 000 рублей, при этом получаете зарплату 40 000 рублей в месяц. Но при этом ждать и копить вы не хотите, а хотите получить машину прямо сейчас. Как это можно сделать? Верно, взять кредит. Банк предоставляет вам кредит суммой 100 000 рублей под 30% годовых на 3 месяца. Так как 30% — это процентная ставка в год, то процентная ставка в месяц будет равна 30/12 или 2,5%.

Каждый месяц необходимо оплачивать ежемесячный платеж — х, поэтому получим, что каждый месяц наша первоначальная сумма кредита увеличивается на сумму процентов и уменьшается на ежемесячный платеж:

100 000 * 1,025 – х

В следующем месяце необходимо взять сумму, получившуюся за предыдущий месяц, и проделать то же самое:

(100 000 * 1,025 – х) * 1,025 – х

И в третьем месяце то же:

((100 000 * 1,025 – х) * 1,025 – х) * 1,025 – х

И через три месяца мы расплачиваемся с банком, т.е. наш долг становится равным 0.

((100 000 * 1,025 – х) * 1,025 – х) * 1,025 – х = 0

Если мы раскроем скобки, то получим:

((102 500 – х) * 1,025 – х) * 1,025 – х = 0

(104 755 — 1,025х — х) * 1,025 – х = 0

107 373,9 — 1,025²х — 1,025х – х = 0

107 373,9 – х (1,025² + 1,025 + 1) = 0

107 373,9 = х (1,025² + 1,025 + 1)

Перепишем сумму в скобках в порядке возрастания степеней:

107 373,9 = х (1 + 1,025 + 1,025²)

Сумма в скобках – это сумма трех членов геометрической прогрессии. Вспоминаем формулу суммы геометрической прогрессии:В нашем случае b₁ = 1, а q = 1,025

Применим формулу суммы геометрической прогрессии и тогда получим:

S₃ = 1 * (1,025³ – 1) / 1,025 -1

И подставим эту формулу в наше выражение:

107 373,9 = х (1 * (1,025³ – 1) / 1,025 -1)

107 373,9 = х (0,077/0,025)

107 373,9 = 3,08х

х = 34 861,65 – сумма ежемесячного платежа по нашему кредиту.

Но для нас самое ценное из данного решения — формула, полученная в результате вычислений:

S * %ⁿ = X * (%ⁿ – 1) / % — 1

где S – это первоначальная сумма кредита,

% — это процентная ставка (не забываем перевести ее в дробь и прибавить единицу)

X – ежемесячный платеж

n – количество платежных периодов

 Равные (аннуитетные) платежи

Мы рассмотрели ситуацию, когда мы выплачиваем сумму кредита с начисленными по нему процентами равными платежами. Такой способ погашения кредита называют аннуитетным.

Еще раз подчеркнем, что при аннуитетном способе погашения кредита, кредит выплачивается равными платежами.

Примеры решения задач по кредитам с равными (аннуитетными) платежами

Задача 1

10 января 2014 года клиент взял в банке кредит суммой 1 100 000 рублей. Процентная ставка по кредиту составила 20% годовых. 10 января каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем клиент переводит в банк платеж в Х рублей. Клиент должен выплатить долг двумя равными платежами. Какой должна быть сумма Х?

Решение:

По условиям задачи клиент должен выплатить кредит двумя равными платежами. Следовательно, здесь используется аннуитетный способ погашения кредита.

10 января 2015 года сумма кредита составила: (1 100 000 * 1,2 – Х)

10 января 2016 года сумма кредита составила: (1 100 000 * 1,2 – Х) * 1,2

В 2016 году сумма долга и сумма платежа равны, следовательно, мы можем приравнять:

(1 100 000 * 1,2 – Х) * 1,2 = Х

1 584 000 – 1,2Х = Х

2,2Х = 1 584 000

Х = 720 000

Таким образом, сумма каждого платежа должна быть равна 720 00 рублей.

Ответ: 720 000 рублей

А теперь давайте разберем, как можно решить эту же задачу с помощью формулы, которую мы вывели выше:

S * %n = X * (%n – 1) / % — 1

Из условий задачи в эту формулу мы можем подставить следующие значения: первоначальную сумму кредита S = 1 100 000, процентную ставку % = 1,2. Нам известно, что кредит был выплачен двумя платежами, т.е. за два периода, соответственно n = 2. Подставляем все известные значения в формулу и находим платеж по кредиту – Х:

1 100 000 * 1,22 = Х * (1,22 — 1) / 1,2 – 1

1 584 000 = Х * (1,44 – 1) / 0,2

1 584 000 = 2,2Х

Х = 720 000

Таким образом, сумма каждого платежа должна быть равна 720 00 рублей.

Ответ: 720 000 рублей

Задача 2

31 января 2012 года клиент взял в банке кредит под 20% годовых. По условиям договора кредит выплачивается следующим образом: 31 января каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем клиент переводит в банк 3 200 800 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?

Решение:

Сразу воспользуемся нашей формулой:

S * %n = X * (%n – 1) / % — 1

Нам известен платеж по кредиту Х = 3 200 800 рублей, процентная ставка, которую мы сразу переводим в дробь, % = 1,2, период n = 2, т.к. известно, что клиент выплатил кредит двумя равными платежами. Подставляем все известные значения в формулу и находим сумму кредита S:

S * 1,22 = 3 150 000 * (1,22 – 1) / 1,2 – 1

1,44S = 3 150 000 * 0,44 / 0,2

1,44S = 6 930 000

S = 4 812 500

Таким образом, первоначальная сумма кредита, которую взял клиент, равна 4 812 500 рублей.

Ответ: 4 812 500 рублей.

Дифференцированные платежи

Существует еще один способ погашения кредита – дифференцированный (или регрессивный) способ. При выплате кредита этим способом ежемесячные платежи уменьшаются каждый месяц.

При использовании этого способа платеж состоит из двух частей – фиксированная часть (часть основного долга по кредиту) и проценты.  Сумма процентов каждый месяц уменьшается, так как уменьшается остаток основного долга, на который они начисляются. В связи с этим уменьшается и ежемесячный платеж.

Изучить теоретический материал по решению задач, содержащим дифференцированный способ погашения кредита, а также примеры решения таких задач вы можете 

Итак, мы разобрали, как решить экономическую задачу, которая может принести вам дополнительных 3 балла на ЕГЭ.